2024届湖北省襄阳市第五中学高三下学期开学考试数学试题（解析版）

2024 届湖北省襄阳市第五中学高三下学期开学考试数学试题 一、单选题 1 ．已知 ，则 （     ） A ． B ． C ． D ． 1 【答案】 A 【分析】 根据正切的和差角公式即可求解 . 【详解】 ， 故选： A 2 ．设复数 （ ， 且 ），满足 ，则 在复平面内所对应的点位于（      ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D 【分析】 变形得到 ，求出 ，得到 ，求出答案 . 【详解】 ，即 ，所以 ，故 ， 所以 ， ，对应的点坐标为 ，在第四象限 . 故选： D 3 ．在 展开式中 的系数为（      ） A ． B ． 0 C ． 1 D ． 2 【答案】 B 【分析】 根据 ，结合二项式定理求解即可 . 【详解】 显然 ， 则 展开式第 项 ， 当 时， ，当 时， ， 所以展开式中含 的项为 ，即展开式中 的系数为 0. 故选： B 4 ．已知四面体 中， 为 中点， 为 中点， 为平面 内任一直线，则 “ 直线 与直线 异面 ” 是 “ 与直线 相交 ” 的（      ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】 C 【分析】 利用反证法分别证明充分性与必要性即可 . 【详解】 先证明 “ 直线 与直线 异面 ” 是 “ 直线 与直线 相交 ” 的充分条件 . 证明：假设直线 与直线 不相交， 为平面 内任一直线，即 平面 ，又 平面 ， ， 为 中点， 为 中点， ， ，这与已知直线 与直线 异面矛盾 . 故假设不成立，即直线 与直线 相交 . 再证明 “ 直线 与直线 异面 ” 是 “ 直线 与直线 相交 ” 的必要条件 . 已知：四面体 中， 为 中点， 为 中点， 为平面 内任一直线，直线 与直线 相交， 求证：直线 与直线 异面 . 证明：假设直线 与直线 不异面 . 为 中点， 为 中点， ， 又 平面 ， 平面 ， 则 平面 ，由定义知，直线 与平面 无公共点， 又直线 平面 ，故直线 与直线 无公共点， 由假设直线 与直线 不异面，则 ， ，这与已知直线 与直线 相交矛盾 . 故假设错误，即直线 与直线 异面 . 综上， “ 直线 与直线 异面 ” 是 “ 与直线 相交 ” 的充要条件 . 故选： C.    5 ．已知 为椭圆 和双曲线 的公共焦点， P 为它们的公共点，且 ，则 的面积为 (       ) A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 利用椭圆以及双曲线定义可求得 ，即可求出 的面积为 . 【详解】 根据题意如下图所示：    利用椭圆定义可知 ，由双曲线定义可知 ； 解得 ， 由三角形面积公式可得 ； 即 的面积为 . 故选： C 6 ．复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为 A 系列、 B