精品解析：广东省东莞市第四高级中学2024届高三上学期10月月考数学试题

广东省东莞市第 四 高级 中 学 2023-2024 高三 上学期 月考 数学 试题 一、单项选择题： 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ， 是实数，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ） A. B. C D. 4. 在 的展开式中， 的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 4 5. 《九章算术》 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 6. 函数 的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 , ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 图像关于原点对称，其中 ， ，而且在区间 上有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9. 已知函数 ，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 点 是 图象的一个对称中心 C. 在 上单调递增 D. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象 10. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任取 3 球，恰有 2 个白球的概率是 ； B. 从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，设取到红球次数为 X ，则 ； C. 现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概 率为 ； D. 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 . 11. 已知函数 存在极值点，则实数 a 的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 12. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型： ，其中 ， ， 是正数， 表示初始时刻种群数量， 叫做种群的内秉增长率， 是环境容纳量 . 可以近似刻画 时刻的种群数量 . 下面给出四条关于函数 的判断正确的有（ ） A. 如果 ，那么存在 ， ； B. 如果 ，那么对任意 ， ； C. 如果 ，那么存在 ， 在 点处的导数 ； D. 如果 ，那么 的导函数 在 上存在最大值 . 三、填空题： 13. 在 中， ， ， ，则 ______ ． 14. 某中学为庆祝建校 130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊 5 名老师参加 “ 130 周年办学成果展 ” 活动，活动结束后 5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 __________ 种 ( 用数字 作答 ) ． 15. 已知角 的大小如图所示，则 的值为 ________ 16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数： 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， … 称为三角形数，第二 行图形中黑色小点个数： 1 ， 4 ， 9 ， 16 ， … 称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则 ______ ； ______ . 四、解答题： 17. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ． （ 1 ） 求 的值； （ 2 ） 求 的值； （ 3 ） 求 的值． 18. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， . （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 证明： . 19. 小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续 5 年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为 1~5. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 （单位：千亿元） 1.30 1.40 1.62 1.68 1 80 （ 1 ） 由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用样本相关系数加以说明（若 ，则线性相关程度较高， 精确到 0.01 ）； （ 2 ） 建立 关于 的经验回归方程 . 参考公式和数据：样本相关系数 ， ， ， ， ， . 20. 设正项数列 的前 项和为 ，且 . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 记 的前 项和为 ，求证： . 21. 哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行 . 初赛采用 “ 两轮制 ” 方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格 . 高三学年派出甲和乙参赛 . 在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 ， ，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 ， ，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响 . （ 1 ） 若高三学年获得决赛资格的同学个数为 ，求 的分布列和数学期望 . （ 2 ） 已知甲和乙都获得了决赛资格 . 决赛 规则如下：将问题放入 两个纸箱中， 箱中有 3 道选择题和 2 道填空题， 箱中有 3 道选择题和 3 道填空题 . 决赛中要求每位参赛同学在 两个纸箱中随机抽取两题作答 . 甲先从 箱中依次抽取 2 道题目，答题结束后将题目一起放入 箱中，然后乙再抽取题目 . 已知乙从 箱