浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期返校联考数学试题 (原卷全解析版）

2023 学年第一学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1 ．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2 ．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3 ．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4 ．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在 中， ，若 ， ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 两点，与抛物线的准线相交于点 ．若 ，则 （ ） A B. C. D. 6. 某市抽调 5 位老师分赴 3 所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A. 124 B. 246 C. 114 D. 108 7. 已知函数 的图象如图所示， 是直线 与曲线 的两个交点，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体 中， ， ， ，直线 与 所成的角为 ，且二面角 为锐二面角．当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的或不选的得 0 分． 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知 ，若 ，则 B. 若一组样本数据 对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数 为 C. 样本数据 64 ， 72 ， 75 ， 76 ， 78 ， 79 ， 85 ， 86 ， 91 ， 92 的第 45 百分位数为 78 D. 对分类变量 与 独立性检验的统计量 来说， 值越小，判断 “ 与 有关系 ” 的把握性越大 10. 已知正方体 的棱长为 2 ，点 为平面 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点 在棱 上运动，则 的最小值为 B. 若点 是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为 C. 若点 满足 ，则动点 的轨迹是一条直线 D. 若点 在直线 上运动，则 到棱 的最小距离为 11. 设定义在 R 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数 的图象关于 对称 C. 的周期为 4 D. 12. 已知数列 是公比为 的等比数列，且 ，则下列叙述中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，且 ，则 非选择题部分 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知函数 ，则 的解集为 ________. 14. 若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 __ ． 15. 已知 是椭圆 的左焦点，过 作直线 交椭圆于 两点，则 的最小值为 __________ ． 16. 已知不等式 对 恒成立，则当 取最大值时， __________ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 ． （ 1 ） 求 的单调递增区间； （ 2 ） 在 中，角 所对 边为 ．若 ，求 的取值范围． 18. 已知四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ， ， ， ， 为等边三角形． （ 1 ） 求证： 平面 平面 ； （ 2 ） 是否存在一点 ，满足 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 19. 设数列 的前 项和为 ，已知 ． （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 设 ，求数列 的前 的项和 ． 20. 某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（ Dopamine ）的分泌，所以又叫 “ 快乐药 ” ．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（ Dopamine ）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（ Dopamine ）分泌的正常值是 ，定义运动后多巴胺含量超过 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的 60 名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为 1 ∶ 2 ，女生中明显有效运动的人数占 ，男生中明显有效运 动的人数占 ． 女生 男生 合计 明显有效运动 不明显有效运动 合计 （ 1 ） 根据所给的数据完成上表，并依据 的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由； （ 2 ） 若从树人中学所有学生中抽取 11 人，用样本 频率估计概率，预测 11 人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？ 附： ，其中 ． 参考数据： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的