河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三上学期11月期中考试数学试题

河南省 焦作市博爱一中 2023 — 2024 学年（上）高三年级期中考试 数学 考生注意： 1 ．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2 ．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3 ．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数 ，若 f ( x ) 在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ( ， 1] B. [ ， ] C. ( ， +∞) D. [1 ， 2] 2. 已知 ， ， ，则 的大小关系为 A. B. C. D. 3. 已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图象的两条对称轴，则 （） A. B. C. D. 4. 赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为 1 ，直角三角形中较小的锐角为 ，且 ，则大正方形的面积为（） A. 4 B. 5 C. 16 D. 25 5. 若直线 ： 经过第四象限，则 的取值范围为（） A. B. C . D. 6. 如图，在直三棱柱 中， ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 7. 设数列 是以 为公差的等差数列， 是其前 项和， ，且 ，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 的最大值为 或 8. 若曲线 在 处的切线的斜率为 3 ，则该切线在 轴上的截距为（） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 若 ， ，且 ，则（） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，则下列说法正确 是（） A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递减 C. D. 的定义域为 12. 已知复数 ， ， ， 为坐标原点， ， ， 对应的向量分别为 ， ， ，则以下结论正确的有（） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 与 的夹角为 D. 若 ，则 为正三角形 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，若数据 ， ， ， 的平均数比方差大 4 ，则 的最大值是 _____________ ． 14. 某同学画 “ 切面圆柱体 ” （用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为 ，则 “ 切面 ” 所在平面与底面所成锐二面角的大小为 __________ ． 15. 是空间的一个基底，向量 ， 是空间的另一个基底，向量 ，则 __________ . 16. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为 ______ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在锐角 △ ABC 中，角 A ， B ， C 对边分别 a ， b ， c ，设向量 ， ，且 . （ 1 ）求证： （ 2 ）求 的取值范围 . 18. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克 25 元，成本为每千克 15 元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克 10 元处理完．据以往销售情况，按 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （ 1 ）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量 平均数 （同组数据用区间中点值代表）； （ 2 ）该经销商某天购进了 250 千克蔬果，假设当天的日需求量为 千克（ ），利润为 元． ① 求 关于 的函数表达式； ② 根据频率分布直方图估计利润 不小于 1750 元的概率． 19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别是 ， 中点， 是 上一点． （ 1 ）证明： 平面 ． （ 2 ）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 20. 某外语学校的一个社团有 7 名同学，其中 2 人只会法语， 2 人只会英语， 3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问 . 求： （ 1 ）在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； （ 2 ）求在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 的分布列 . 21. 已知函数 （ 1 ）判断 的单调性； （ 2 ）若函数 存在极值，求这些极值的和的取值范围 . 22. 已知 ，复数 在复平面上对应的点分别为 为坐标原点 . （ 1 ）求 的取值范围； （ 2 ）当 三点共线时，求三角形 的面积 . 焦作市博爱一中 2023 — 2024 学年（上）高三年级期中考试 1. 【答案】 B 2. 【答案】 A 3. 【答案】 B 4. 【答案】 D 5. 【答案】 C 6. 【答案】 D 7. 【答案】 D 8. 【答案】 A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9. 【答案】 AC 10. 【答案】 AB 11. 【答案】 AC 12. 【答案】 ABD 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 【答案