2024届浙江省宁波市慈溪市杨贤江中学高三上学期期末数学试题（全解析版）

2 024 届浙江省宁波市 慈溪市 杨贤江中学高三 第一学期期末测试 数学学科试卷 说明：本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分． 考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第 Ⅰ 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集 ，集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 设 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3 4. 已知函数 ，若 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 5. 图 ① 中的 “ 马头墙 ” 是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图 ② ，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知 ， ， ，现计划覆以小青瓦，覆盖面为 “ 前 ”“ 后 ” 两面， “ 前面 ” 如图 ③ 阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 （ ） A. 2024 B. C. D. 0 7. 已知四边形 ABCD 的四个顶点在抛物线 上，则 “ A ， B ， C ， D 四点共圆 ” 是 “ 直线 AC 与 BD 倾斜角互补 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列 满足 ， ，令 ．若数列 是公比为 2 的等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示： 单价 x / 元 8 8.5 9 9.5 10 销量 y / 万件 89 85 80 78 68 根据以上数据得到 与 具有较强 线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为 ，则（ ） A. 相关系数 B. 点 一定在经验回归直线上 C. D. 时，对应销量的残差为 10. 已知 为直线 上的一点，动点 与两个定点 ， 的距离之比为 2 ，则（ ） A. 动点 的轨迹方程为 B. C. 的最小值为 D. 的最大角为 11. 对于任意实数 ， 表示为不超过 的极大整数，如 ， ，（ ） A. 若 时，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 12. 已知直三棱柱 ， ， ， ， ， ，平面 EFG 与直三棱柱 相交形成的截面为 ，则（ ） A. 存在正实数 ， ， ，使得截面 为等边三角形 B. 存在正实数 ， ， ，使得截面 为平行四边形 C. 当 ， 时，截面 为五边形 D. 当 ， ， 时，截面 为梯形 第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 在 的展开式中，常数项为 ______ ．（用数字作答） 14. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 _______ ． 15. 若函数 有两个零点，则正整数 的最小值为 _______ ．（其中 是自然对数的底数，参考数据： ， ） 16. 已知双曲线 左顶点为 ，右焦点为 F ， P 为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为 2 ，且 ，则 _______ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在 中，内角 A ， B ， C 所对 边分别为 a ， b ， c ，且 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）若 ， BC 边上的中线 ，求 的面积． 18. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设数列 的前 项和为 ，且 ，若 对任意 恒成立，求实数 的最小值． 19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若四棱锥 的体积为 12 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 20. 已知 A ， B 分别为椭圆 的左右顶点，点 ， 在椭圆 上． （ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）过点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 C ， D 两点，若直线 AC 与 BD 相交于点 ，求证：点 在定直线上． 21. 某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的 200 名学生进行调查，调查中使用了两个问题． 问题 1 ：你的学号是不是奇数？ 问题 2 ：你是否沉迷手机？ 调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的 50 个白球和 50 个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答 “ 是 ” 的人往一个盒子中放一个小石子，回 答 “ 否 ” 的人什么都不要做．由于问题的答案只有 “ 是 ” 和 “ 否 ” ，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案． （ 1 ）如果在 200 名学生中，共有 80 名回答了 “ 是 ” ，请你估计该城市沉迷手机 中学生所占的百分比． （ 2 ）某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该