北京市海淀区清华附中2020-2021学年高二（下）期中考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市海淀区清华附中 2020-2021 学年高二（下）期中考试 数 学 一、选择题（共 10 小题；共 40 分） 1 ．（ 4 分）已知集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． ， D ． ， 2 ．（ 4 分）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 　　 A ． B ． 5 C ． 10 D ． 15 3 ．（ 4 分）已知 为偶函数，其局部图象如图所示，那么 　　 A ． （ 2 ） B ． （ 2 ） C ． （ 2 ） D ． （ 2 ） 4 ．（ 4 分）已知等差数列 ，则 “ ” 是 “ 数列 为单调递增数列 ” 的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5 ．（ 4 分）从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 中不放回地依次取 2 个数，事件 “ 第一次取到的是奇数 ” ， “ 第二次取到的是奇数 ” ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 4 分）设变量 与 有如表五组数据：由散点图可知， 与 之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是 ，则 　　 1 2 3 4 5 4.5 4 2 3 2.5 A ． 4.4 B ． 4.5 C ． 4.6 D ． 4.7 7 ．（ 4 分）设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点， 是 上一点．若 ，则 　　 A ． B ． 5 C ． D ． 8 ．（ 4 分）函数 ， 的部分图象如图所示，则 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 4 分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 　　 A ． 24 B ． 36 C ． 42 D ． 48 10 ．（ 4 分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 中作边长为 1 的正方形 ，以 为圆心， 长为半径作圆弧 ；然后在矩形 中作正方形 ，以 为圆心， 长为半径作圆弧 ； ；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧 ， ， 的长度分别为 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题（共 5 小题；共 25 分） 11 ．（ 5 分）设复数 满足 ， 为虚数单位，则 　　 ． 12 ．（ 5 分）在 展开式中，常数项为 　　 ．（用数值表示） 13 ．（ 5 分）某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取 30 人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到 列联表如表： 体质健康成绩高 体质健康成绩低 总计 学习成绩高 17 2 19 学习成绩低 3 8 11 总计 20 10 30 有 　　 的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关． 附： ． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 14 ．（ 5 分）如图，在直三棱柱 中， ， ，点 、 、 分别是 、 、 的中点，点 是 上的动点．若 ，则线段 长度为 　　 ． 15 ．（ 5 分）从 到 通信，网络速度提升了 40 倍．其中香农公式 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率 、信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是 　　 ． ① 若不改变信噪比 ，而将信道带宽 增加 倍，则 增加 倍． ② 若不改变信道带宽 和信道内信号的平均功率 ，而将高斯噪声功率 降低为原来的一半，则 增加一倍． ③ 若不改变带宽 ，而将信噪比 从 15 提升至 127 ， 增加了 ． ④ 若不改变带宽 ，要使得 增加一倍，则需要将信噪比 从 63 提升至 1023 ． 三、解答题（共 6 小题；共 85 分） 16 ．在 中， ， ，且 ，再从条件 ① 、条件 ② 中选择一个作为已知，条件 ① ： ；条件 ② ： ．求： （ Ⅰ ） 的值； （ Ⅱ ） 的面积． 17 ．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 100 个水果测量质量，样本数据分组为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （单位：克），其频率分布直方图如图所示： （ Ⅰ ）用分层抽样的方法从样本里质量在 ， ， ， 的水果中抽取 6 个，求质量在 ， 的水果数量； （ Ⅱ ）从（ Ⅰ ）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记 为质量在 ， 的水果数量，求 的分布列和数学期望； （ Ⅲ ）果园现有该种水果约 20000 个，其等级规格及销售价格如表所示， 质量 （单位：克） 等级规格 二等 一等 特等 价格（元 个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入． 18 ．在等差数列 中， ， ． （ Ⅰ ）求数列 的通项公式； （ Ⅱ ）若数列 是首项为 1 ，公比为 的等比数列，求 的前 项和 ． 19 ．已知：函数 ． （ Ⅰ ）若 ，求曲线 在点 ， 处的切线方程； （ Ⅱ ）求函数 的单调区间； （ Ⅲ ） 在区间 ， 上的满足 ，求 的取值范围． 20 ．已知椭圆 ． （ Ⅰ ）求椭圆 的离心率和长轴长． （ Ⅱ ）已知直线 与椭圆 有两个不同的交点 ， ， 为 轴上一点．是否存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由． 21 ．定义数列 如下： ，对任意的正整数 ，有 ． （ Ⅰ ）写出 ， ， ， 的值； （ Ⅱ ）证明：对任意的正整数 ，都有 ； （ Ⅲ ）是否每一个非负整数都在数列 出现？证明你的结论． 2021 北京清华附中高二（下）期中数学 参考答