山东省青岛第二中学2023届高三上学期1月期末考试数学试题 （原卷全解析版）

2022-2023 第一学期期末测试 高三数学 一、选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 A ＝ ， B ＝ ，则 A∩B 等于 ( 　　 ) A ． [1,3] B ． [1,5] C ． [3,5] D ． [1 ，＋ ∞) 2 ．若复数 z 满足： ，则 的共轭复数的虚部为（      ） A ． -2 B ． i C ． 0 D ． 2 3 ．我国古代数学名著《算法统宗》中说： “ 九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传． ” 意为： “996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话． ” 在这个问题中，第 8 个孩子分到的棉花为（      ） A ． 184 斤 B ． 176 斤 C ． 65 斤 D ． 60 斤 4 ．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （      ） A ． 0.5 B ． 0.625 C ． 0.75 D ． 0.875 5 ．已知 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 6 ．设 ， 是椭圆 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且点 P 到两个焦点的距离之差为 1 ，则 的面积为（      ） A ． 2 B ． 3 C ． D ． 7 ．已知函数 在区间 上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．定义在 上的函数 满足 ，且当 时， . 若对 ， 都有 ，则 的取值范围是（      ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9 ．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点 A ， B 的距离之比为定值 λ （ λ ≠1 ）的点的轨迹是圆，此圆被称为 “ 阿波罗尼斯圆 ” ．在平面直角坐标系 xOy 中， A （－ 2 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ），点 P 满足 ＝ . 设点 P 的轨迹为 C ，则下列结论正确的是（　　） A ．轨迹 C 的方程为（ x ＋ 4 ） 2 ＋ y 2 ＝ 9 B ．在 x 轴上存在异于 A ， B 的两点 D ， E 使得 ＝ C ．当 A ， B ， P 三点不共线时，射线 PO 是 ∠ APB 的平分线 D ．在 C 上存在点 M ，使得 10 ．已知函数 ，若 在 上的值域是 ，则实数 的可能取值为（      ） A ． B ． C ． D ． 11 ．对于伯努利数 ，有定义： . 则（      ） A ． B ． C ． D ． 12 ．已知函数 （ 为正整数， ）的最小正周期 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数 的说法正确的是（      ） A ． 是函数 的一个零点 B ．函数 的图象关于直线 对称 C ．方程 在 上有三个解 D ．函数 在 上单调递减 三、填空题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 ．一个布袋中，有大小、质地相同的 4 个小球，其中 2 个是红球， 2 个是白球，若从中随机抽取 2 个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ______. 14 ． 已知抛物线 的焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线 交 于 ， 两点，过 ， 分别作 的切线 、 ， 与 交于点 ， ， 与 轴的交点分别为 ， ，则四边形 的面积为 ______________ ． 15 ．已知函数 ，则 的最小值为 ____. 16 ．已知函数 有六个不同零点，且所有零点之和为 ，则 的取值范围为 __________ ． 四、解答题；本题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ．某电视台 “ 挑战主持人 ” 节目的挑战者闯第一关需要回答三个问 题，其中前两个问题回答正确各得 分，回答不正确得 分，第三个问题回答正确得 分，回答不正确得 分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率为 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于 分就算闯关成功． （ ）求至少回答对一个问题的概率． （ ）求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的分布列． （ ）求这位挑战者闯关成功的概率． 18 ．请你设计一个包装盒，如图所示， AB CD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个长方体形状的包装盒， E ， F 是 AB 边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 cm. (1) 求包装盒的容积 关于 x 的函数表达式，并求出函数的定义域 . (2) 当 x 为多少时，包装盒的容积 V （ ）最大？最大容积是多少？ 19 ．已知函数 (1) 函数 为 的导函数，讨论当 时 的单调性； (2) 当 时，证明： 存在唯一的极大值点 . 20 ．已知数列 中， ， ， ， （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）设 ，求 ． 21 ．已知直线方程为 ，其中 . (1) 当 变化时，求点 到直线的距离的最大值及此时的直线方程； (2) 若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于 A 、 B 两点，求 面积的最小值及此时的直线方程 . 22 ．已知函数 ． (1) 求 的极值； (2) 若 ，且 ，证明： ． 参考答案 1 ． C 求出 中不等