浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高三上学期期中数学试题（原卷全解析版）

2023 学年第一学期浙江省 9 ＋ 1 高中联盟高三年级期中考试 数学 命题：长兴中学 方志刚 叶彦彦 审题：衢州二中 朱建霞 慈溪中学 沈珂娜 考生须知： 1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4. 参加联批学校的学生可关注 “ 启望教育 ” 公众号查询个人成绩分析 . 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ， （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 白居易的《别毡帐火炉》写道： “ 赖有青毡帐，风前自张设 .” 古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为 ，圆柱的高为 ，底面圆的直径为 ，则该毛帐的侧面积（单位 ）是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，设甲：数列 是递增数列，乙：对任意 ，均有 ，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 为抛物线上一点， ，若 ，则点 的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 今年 8 月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需 1 名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A 18 B. 24 C. 32 D. 64 7. 函数 （ ， ， ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象， 与 的图象关于 轴对称，则 可能的取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数 的定义域为 ，对于任意的 ， ，都有 ，当 时，都有 ，且 ，当 时，则 的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的或不选的得 0 分） 9. 已知平面向量 ， ，下列叙述正确的是（ ） A. 与 的夹角为 B. 与 的夹角为 C. D. 在 上的投影向量为 10. 已知函数 ，满足 有三个不同的实数根 ， ， ，则（ ） A. 实数 的取值范围是 B. 关于点 中心对称 C. D. 的值与 有关 11. 四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，且 ， ， 为线段 上一动点（不包含端点），则（ ） A. 存在点 使得 平面 B. 存在点 使得 C. 四棱锥 外接球的表面积为 D. 为 中点时，过点 ， ， 作截面交 于点 ，则四棱锥 的体积为 12. 人教 A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《 用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆 （ ）上动点 到左焦点 的距离和动点 到直线 的距离之比是常数 . 已知椭圆 ： ， 为左焦点，直线 ： 与 轴相交于点 ，过 的直线与椭圆 相交于 ， 两点（点 在 轴上方），分别过点 ， 向 作垂线，垂足为 ， ，则（ ） A B. C. 直线 与椭圆相切时， D. 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡中的横线上） 13. 展开式中常数项 ______ . （用数字作答） 14. 已知圆 ： ，过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的斜率为 ______ . （写出一个即可） 15. 已知 在 时恒成立，则实数 的最小值为 ______ . （注： 为自然对数的底数） 16. 已知数列 的首项为 1 ，且 （ ），则 的值是 ______ . 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， . （ 1 ） 求角 的大小； （ 2 ） 若 ， ， 的角平分线交 于 ，求 的值 . 18. 某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动 . （ 1 ） 已知该商场前 5 天店庆活动当天成交额如表所示： 天 1 2 3 4 5 成交额（万元） 9 12 17 21 27 求成交额 （万元）与时间变量 的线性回归方程，并预测活动第 6 天的成交额（万元）； （ 2 ） 小明分别获得 、 两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为 、 ，两次抽奖结果互不影响 . 记小明中奖的次数为 . 求 的分布列及 ； 附：对于一组具有线性相关关系 数据 ，其回归直线 的斜率和茷距的最小二乘估计分别为 ， . 19. 如图，四边形 为菱形， 平面 ，过 的平面交平面 于 ， . （ 1 ） 求证： 平面 ； （ 2 ） 若平面 平面 ， ，且四棱锥 体积是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 . 20. 已知数列 是公差为 （ ）的等差数列， 是 的前 项和， . （ 1 ） 若 ，且 ，求公差 的取值范围； （ 2 ） 若 ，数列 的首项为 ，满足 ，求数列 的前 项和 . 21. 已知