湖北省武昌实验中学2024届高三上学期12月月考数学试题（原卷解析版）

湖北省武昌实验中学高三年级 12 月月考 数学试卷 命题教师： 考试 时间： 2023 年 12 月 12 日下午 15:00—17: 00 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ， ， ，则 （） A. B. C. D. 2 ．已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 ＝ （） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知椭圆 的离心率为 ，则 （） A ． 2 B ． C ． D ． 4 ．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1 ，下底面半径为 2 ，且该圆台侧面积为 ，则原圆锥的母线长为 （） A ． B ． C ． D ． 5 ．已知双曲线 C ： 的焦点到渐近线的距离为 ，直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点为 ，则直线 l 的斜率为 （） A ． B ． 1 C ． D ． 2 6 ． 是边长为 1 的等边三角形，点 D ， E 分别是边 AB ， BC 上靠近点 B 的三等分点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 ，则 的值为（） A. B. C. D. 7 ． 设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 的值是（） A. B. C. 2 D. 12 8 ．已知函数 的一个对称中心为 ，现将函数 图象上各点的横坐标变为原来的 倍 ( 纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在 上单调递减，则 可取值为 （） A ． B. C ． 2 D ． 3 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ． 已知事件 A ， B 满足 ， ，则 （） A ．若 ，则 B ．若 A 与 B 互斥，则 C ．若 ，则 A 与 B 相互独立 D ．若 A 与 B 相互独立，则 10 ．在棱长为 2 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别为棱 BC ， C 1 D 1 的中点，则下列说法正确的是（） A ． M ， N ， A 1 ， B 四点共面 B ． C ．过点 A 1 ， B ， N 的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形 D ．过 MN 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 11 ． 设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（） A. B. C. 是数列 中的最大项 D. 12 ．已知函数 与 的定义域均为 ， 分别为 的导函数， ， ，若 为奇函数，则下列等式一定成立的是（     ） A ． B ． C ． D ． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 展开式中的常数项为 ． 14 ．在平面直角坐标系 中，圆 关于直线 对称的圆为 ，则 的方程为 __________ ． 15 ．已知曲线 y ＝ lnx 与 y ＝ ax 2 （ a ＞ 0 ）有公共切线，则实数 a 的取值范围为 _________ ． 16 ． a , b , c 分别是 内角 A , B , C 的对边， ， ，则 面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ． 已知向量 ， （ ），函数 . （ 1 ） 当 时，求函数 的单调递增区间； （ 2 ） 若 是函数 的任意两个相异零点，且 的最小值为 ，求函数 在 上的值域． 18 ．如图，四棱锥 中， 是等边三角形， ， . D P C B A （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 ， ，求点 到平面 的距离． 19 ． 已知数列 中， ，设 为 前 n 项和， ． （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 若 ，求数列 的前 n 项和 ． 20 ．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校 10 名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 （分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这 10 名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 ． 经计算， ， ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）规定体质测试成绩低于 50 分为不合格，从这 10 名学生中任取 3 名，记体质测试成绩　不合格的人数为 ，求 的分布列； （ 3 ）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布 ，用 的值分别作为 的近似值，若监测中心计划从全市抽查 100 名高中生进行体质测试，记这 100 名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 的人数为 ，求 的数学期望 ． 附：若 ～ ，则 ， ， ． 21 ．已知函数 ． （ 1 ）若 恒成立，求 的取值范围； （ 2 ）若 有两个不同的零点 且 ，求实数 的取值范围 . 22 ．已知 是椭圆 上关于原点 对称的两点，且 ， 是椭圆 上异于 的一点，直线 和 的斜率满足 ． （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）点 是椭圆 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点 Q 作斜率不为 0 的直线 l ， l 与椭圆的两个交点分别为 P 、 N ，若 的值为定值，则称此时的点 为 “ 稳定点 ” ，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有 “ 稳定点 ” ；若没有，请说明理由． 高三年级 12 月月考数学参考答案 一．单选题 1-8. ADC D B B B D 二．多选题 9. BD