江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题（解析版）

江苏省南通市如皋市 2023-2024 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三） 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则（） A. B. C. D. 2. 已知复数 是关于 x 的方程 （ a ， ）的一个解，则复数 的虚部为（） A. B. C. D. 5 3. 某学校校医研究温差 （ ℃ ）与本校当天新增感冒人数 y （人）的关系，该医生记录了 5 天的数据，且样本中心点为 ．由于保管不善，记录的 5 天数据中有两个数据看不清楚，现用 代替，已知 ， ，则下列结论正确的是（） x 5 6 8 9 12 y 17 m 25 n 35 A. 在 确定的条件下，去掉样本点 ，则样本的相关系数 r 增大 B. 在 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 ，则 C. 在 确定 条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 ，则当 时，残差为 D. 事件 “ ， ” 发生的概率为 4. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（） A. 3 B. C. D. 5. 双曲线 C ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线 l 与双曲线的右支 相交于 A ， B 两点， 的内切圆圆心的横坐标为 1 ，则双曲线 C 的离心率为（） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数 的两个零点分别为 ，若 三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 的解集为（） A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为（） A. B. C. D. 8. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且 ，则 的值为（） A. 0 B. 8 C. D. 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数 ，若函数 有三个不同的零点 （ ），则下列命题正确的是（） A. 函数 的解析式为 B. 在 上的最大值为 C . D. 在 上单调递增 10. 某学校共有学生 1400 人，其中男生 800 人，女生 600 人，学校为了了解学生参加知识竞赛的考试成绩，采用分层抽样的方法从全校学生中抽取 70 人，其中男生的平均成绩为 77 分，方差为 123 ，女生的平均成绩为 70 分，方差为 130 ，则下列正确的是（） A. 从男生中抽取 40 人 B. 抽取的 70 人的平均成绩为 74 分 C. 抽取的 70 人成绩的方差为 138 D. 估计全体学生中每个男生 竞赛成绩均比每个女生的竞赛成绩多 7 分 11. 在正四棱柱 中， ， ，其中 ， ， ，则下列命题正确 是（） A. 当 ， 时， 平面 B. 当 且 时，平面 平面 PBC C. 当 ， 时，二面角 正切的最大值为 2 D. 当 时，三棱锥 体积的最大值为 12. 已知直线 l 与抛物线 E ： 相交于 ， 两点，其中 ， ．分别过 A ， B 作抛物线准线的垂线，垂足分别 C ， D ，线段 的中点到准线的距离为 d ，则下列命题正确的是（） A. 若直线 l 过抛物线的焦点 F ，则焦点 F 在以线段 为直径的圆外 B. 若直线 l 过抛物线的焦点 F ，则 的最小值为 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的面积的取值范围为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 展开式中 的系数为 ______________ ． 14. 某校将 8 个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有 _________ 种（用数字作答）． 15. 在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，三角形 的面积为 且 ，则 的最小值为 ______________ ． 16. 三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面 ，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则三棱锥 体积的取值范围为 ______________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 将函数 图象向左平移 （ ）个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的 （ ）倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．函数 图象经过点 ． （ 1 ）当 时，求函数 的单调递增区间； （ 2 ）若函数 在区间 上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，求 的取值范围． 18. 已知等差数列 的首项为 1 ，公差为 2 ．正项数列 的前 项和为 ，且 ． （ 1 ）求数列 和数列 的通项公式； （ 2 ）若 ，求数列 的前 项和． 19. 如图所示，四边形 ABCD 为圆柱 ST 的轴截面，点 Р 为圆弧 BC 上一点（点 P 异于 B ， C ）． （ 1 ）证明：平面 PAB ⊥ 平面 PAC ； （ 2 ）若 ， （ ），且二面角 的余弦值为 ，求 的值． 20. 已知椭圆 C 经过点 ， ， ， 中的三个点．不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 相切于点 M ． （ 1 ）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）过点 M 且垂直于 l 的直线交 x 轴于点 ， y 轴于点 ．求动点 的轨迹方程． 21 . 已知函数 ． （ 1 ）若直线 与函数 的图象相切，求实数 a 的值； （ 2 ）若函数 有两个极值点 和 ，且 ，证明： ．（ e 为自然对数的底数）． 22. 在某公司组织的团建活动中， A ， B ， C 三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接