湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题 （原卷全解析版）

长郡中学 2023 级高一入学检测试卷 数学 时量： 90 分钟满分： 100 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . 1. 已知 a 是 的小数部分，则 的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 如果不等式 正整数解是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，那么 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍，那么这个多边形的边数为（ ） A 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 如图，在 中， 与 的平分线相交于 DC 边上的一点 E ，若 ， ，则 的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 5. 若关于 x 分式方程 无解，则 m 的值为（ ） A. 或 B. C. D. 6. 如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 20 、 3 、 2 ， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 27 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过正方形 OABC 的顶点 A 和 C ，已知 点 A 的坐标为 ，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C ， D 在半圆上， ，连接 OC ， CA ， OD ，过点 B 作 ，交 OD 的延长线于点 E . 设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 9. 设点 在第二象限内，且 ， ，则点 P 关于原点的对称点为 ________ . 10. 关于 的二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解，则 ________ . 11. 二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成 . 现对由 4 个小正方形组成的 “ ” 进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为 ________ . 12. 如图， 是边长为 6 等边三角形，点 E 为高 BD 上的动点 . 连接 CE ，将 CE 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 CF . 连接 AF ， EF ， DF ，则 周长的最小值是 ________ . 三、解答题：本题共 4 小题，共 52 分 . 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 13. 如图， AB 是 ⊙ O 直径， C ， D 是 ⊙ O 上两点，点 C 是 的中点，过点 C 作 AD 的垂线，分别交 AB 与 AD 的延长线于点 E 和点 F . （ 1 ） 求证： EF 是 ⊙ O 的切线； （ 2 ） 若 ， ，求 的长 . 14. 为了了解学生关注热点新闻的情况， “ 两会 ” 期间，小明对班级同学一周内收看 “ 两会 ” 新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看 3 次的人数没有标出） . 根据上述信息，解答下列各题： （ 1 ） 该班级女生人数是 ________ ，女生收看 “ 两会 ” 新闻次数的中位数是 ________ ； （ 2 ） 对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于 3 次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的 “ 关注指数 ”. 如果该班级男生对 “ 两会 ” 新闻的 “ 关注指数 ” 比女生低 5% ，试求该班级男生人数； （ 3 ） 为进一步分析该班级男、女生收看 “ 两会 ” 新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表） . 统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 该班级男生 3 3 4 2 根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看 “ 两会 ” 新闻次数的波动幅度大小 . 15. 如图，矩形 中， ， ，点 H 在线段 OC 上，将 沿直线 AH 折叠得到 . （ 1 ） 当 AP 经过 CD 的中点 N 时，求点 P 的坐标； （ 2 ） 在（ 1 ）的条件下，已知二次函数 的图象经过 A ， D 两点 . 若将直线 AH 右侧的抛物线沿 AH 对折，交 轴于点 M ，请求出 AM 的长度 . 16. 函数 （ 为常数， ） . （ 1 ） 求出此函数图象的顶点坐标（用含 a 的式子表示）； （ 2 ） 当 时，此函数图象交 轴于点 A ， B （点 A 在点 B 的左侧），交 轴于点 C ，点 P 为 轴下方图象上一点，过点 P 作 轴交线段 BC 于点 Q ，求线段 PQ 的最大值； （ 3 ） 点 ， ，连接 MN ，当此函数图象与线段 MN 恰有两个公共点时，求出 的取值范围 . 长郡中学 2023 级高一入学检测试卷 数学 时量： 90 分钟满分： 100 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . 1. 已知 a 是 的小数部分，则 的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 先确定 的范围，再表示出 ，然后代入 中计算即可 【详解】 因为 ，即 ，所以 ， 所以 ， 故选： B 2. 如果不等式 的正整数解是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，那么 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 先解出不等式的解，然后利用正整数解列不等关系，求解即可 . 【详解】 解不等式 得 ，当 在大于等于 4 小于 5 的范围之内时， 不等式 的正整数解是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，所以 ，解得 . 故选： A 3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4