2022-2023学年广东省佛山市南海区华南师范大学附属中学南海实验高级中学高三模拟预测 数学（解析版）

华附南海实验高中 2023 届强化考（二） 数学 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1 ． 已知集合 ，则 的元素个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2 ． 若 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3 ． 已知 ，则 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为 6 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为 2 的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 5 ．一组数据按照从小到大的顺序排列为 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ，记这组数据的上四分位数为 ，则二项式 展开式的常数项为（ ） A ． B ． 60 C ． 120 D ． 240 6 ．已知一组样本数据共有 9 个数，其平均数为 8 ，方差为 12 ．将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为 9 ，则新的样本数据的方差为（ ） A ． 18.2 B ． 19.6 C ． 19.8 D ． 21.4 7 ．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、右两支于 两点，点 在 轴上， ， 平分 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 已知函数 ，若 成立，则实数 的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、多选题（每小题 5 分，漏选得 2 分，共 20 分） 9 ． 下列命题中正确的是（ ） A ．若样本数据 的样本方差为 3 ，则数据 的方差为 7 B ．经验回归方程为 时，变量 和 负相关 C ．对于随机事件 与 ，若 ，则事件 与 相互独立 D ．若 ，则 取最大值时 10 ． 下列化简正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 为定义在 R 上的偶函数，当 时，有 ，且当 时， ，下列命题正确的是（ ） A ． B ．函数 在定义域上是周期为 2 的函数 C ．函数 的值域为 D ．直线 与函数 的图象有 2 个交点 12 ．已知直线 交 轴于点 ，圆 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 与 交于点 ，则 （ ） A ．若直线 与圆 相切，则 B ．当 时，四边形 的面积为 C ．直线 经过一定点 D ．已知点 ，则 为定值 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13 ． 已知 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ________ ． 14 ． 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 ．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前 6 位数字 2 ， 7 ， 1 ， 8 ， 2 ， 8 进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个 2 相邻，两个 8 不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 ________ 个． 15 ． 已知数列 满足 ，则数列 的前 30 项和为 ________ ． 16 ． 函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ________ ． 四、解答题（满分 70 分） 17 ． （满分 10 分）如图，已知四棱锥 中， 是面积为 的等边三角形且 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求平面 与平面 所成角的余弦值． 18 ． （满分 12 分）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）设 ，若点 是边 上一点， ，且 ，求 的面积． 19 ． （满分 12 分）在数列 中，若 ，则称数列 为 “ 泛等差数列 ” ，常数 称为 “ 泛差 ” ．已知数列 是一个 “ 泛等差数列 ” ，数列 满足 ． （ 1 ）若数列 的 “ 泛差 ” ，且 成等差数列，求 ； （ 2 ）若数列 的 “ 泛差 ” ，且 ，求数列 的通项 ． 20 ．（满分 12 分）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球，乙袋中有 2 个红球和 8 个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 （ 先验概率）． （ 1 ）求首次试验结束的概率； （ 2 ）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 21 ． （满分 12 分）已知函数 ． （ 1 ）当 时，求函数 在 处的切线方程； （ 2 ）若 ，正实数 满足 ，证明： ． 22 ． （满分 12 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ． （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）设椭圆 的左、右两个顶点分别为 为直线 上的动点，且 不在 轴上，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 为椭圆 的左焦点，求证： 的周长为定值． 华附南海实验高中 2023 届强化考（二） 数学参考答案 1 ． B 【