广东省衡水金卷2024届高三上学期12月联考数学试题

广东 省衡水 金卷 2024 届高三年级 12 月份大联考 数学试题 本试卷共 4 页， 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答：用签字 笔直接 写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D . 3. 已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 过抛物线， 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，则 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为 A 系列、 B 系列、 C 系列，其中 A 系列的幅面规格为： ， ， ， ，…， ，所有规格的纸张的长度（以 表示）和幅宽（以 表示）的比例关系都为 ；将 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 规格；将 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 规格； … ，如此对开至 规格 . 现有 ， ， ， ，…， 纸各一张 ，已知 纸的幅面面积为 ，则 ， ， ， ，…， 这 9 张纸的面积之和是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是 ： 上一点，过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则当直线 AB 与 平行时，直线 AB 的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数 ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B.4 C. D.1 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 一组互不相等的样本数据 ， ，…， ， 其平均数为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，去掉最大值后，余下数据的平均数为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 函数 （ ， ， ）的部分 图象 如图所示，将函数 的 图象 上 所有点 的横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，然后向左平移 个 单位长度，得到函数 的 图象 ，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是 图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是 ， 11. 若 ， 分别为 的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 12. 棱 长为 6 的正四面体 的四个顶点均在球 的表面上，若点 为球面上的任意一点，则 的取值可以为（ ） A. B.3 C.5 D. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知函数 的 最小正 周期为 ，则 ________. 14. 圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为 2 的扇形，则圆锥的体积为 ________. 15. 在 的展开式中，记 项的系数为 ，若 ，则 的值为 ________. 16. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，倾斜角为 的直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围为 ________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 10 分） 已知数列 为等差数列，数列 为等比数列， ， . （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 . 18. （本小题满分 12 分） 已知在 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 . （ 1 ）求 ； （ 2 ）若 边上的中线长为 ， ，求 的周长 . 19. （本小题满分 12 分）身高体重指数（ ）这个概念，是由 19 世纪中期的比利时通才 凯 特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（ ） = 体重（ ）÷身高（ m ）的平方 . 成人的 数值低于 18.5 ，则体重过轻，在 则正常；在 为过重，在 为肥胖，不低于 32 为非常肥胖， 且专家 指出最理想的体重指数是 22. 某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案 . 半年后，分别在两组中各随机选取 100 人， 都分布在 内，按 分成 5 组进行统计： ， ， ， ， . 统计后分别制成如下的频率分布直方图 . 科学饮食组 对照组 （ 1 ）求 a ， b ，并估计科学饮食组的 80% 分位数（结果精确到小数点后两位）； （ 2 ）现采用分层抽样的方法从对照组选取的 100 人中抽取 25 人，再从这 25 人中随机抽取 2 人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 . 20. （本小题满分 12 分） 如图， 平面 ， 平面 ， ， ， ， . （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）试求 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 21. （本小题满分 12 分） 函数 在 处的