2024届广东省实验中学衡水金卷高三下学期2月大联考试题 数学（全解析版）

2024 届 广东省 实验中学 高三 下学期 2 月份大联考 数学试题 本试卷共 4 页， 19 题 ． 全卷满分 150 分 ． 考试用时 120 分钟 。 注意事项： 1 ． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 。 2 ． 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。 3 ． 非选择题的作答：用签字 笔直接 写在答题卡上对应的答题区域内 。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。 4 ． 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 ． 已知集合 ，则 中元素的个数为 （ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 2 ． 已知在 中， ， 则 （ ） A ． 1 B ． C ． D ． 3 ． 若 ， 则 （ ） A ． B ． C ． D ． 4 ． 若 ， 则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ． 若定义在 上的函数 满足 ， 则下列结论一定正确的为 （ ） A ． 的 图象 关于原点对称 B ． 的 图象 关于 y 轴对称 C ． 的 图象 关于点 对称 D ． 的 图象 关于直线 对称 6 ． 已知点 P 是曲线 在第一象限内的一点， A 为 的左顶点， R 为 P A 的中点， F 为 的右焦点 ． 若直线 O R （ O 为原点 ） 的斜率为 ，则 的面积为 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ． 在某电路上有 C 、 D 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 C 元件的概率为 0 . 2 ，需要更换 D 元件的概率为 0 ． 1 ，则在某次通电后 C 、 D 有且只有一个需要更换的条件下， C 需要更换的概率是 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 在各棱长 都为 2 的正四棱锥 中， 侧棱 VA 在平面 V BC 上的射影长度为 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 。 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 。 全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 。 9 ． 若 z 满足 ， 则 （ ） A ． z 的实部为 3 B ． z 的虚部为 1 C ． D ． z 对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为 3 10 ． 已知 ， 则 （ ） A ． 若 ， 则存在唯一的实数 p ， q ， 使得 B ． 若 ， 则 C ． 若 ， 则 D ． 若 ， 则 在 上的投影向量为 11 ． 若过点 可作曲线 的 n 条切线 ， 则 （ ） A ． 若 ，则 B ． 若 ， 且 ， 则 C ． 若 ， 则 D ． 过 ， 仅可作 的一条切线 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 。 12 ． 如图是一个正四棱台 ， 已知正 四棱台的上、下底面的边长分别为 2 和 6 ， 体积为 ， 则侧面积为 _________ ． 13 ． 在数列 中， ， 且 ， 则 的通项公式为 _________ ． 14 ． 若圆 C 与抛物线 在公共点 B 处有相同的切线，且 C 与 y 轴切于 的焦点 A ， 则 _________ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 。 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 。 15 ．（ 本小题满分 13 分 ） 某小区在 2024 年的元旦举办了联欢会，现场来了 1000 位居民 ． 联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了 20 位幸运居民进入摸奖环节，这 20 位幸运居民的年龄用随机变量 X 表示，且 ． （ 1 ）请你估计现场年龄不低于 60 岁的人数（四舍五入取整数）； （ 2 ）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为 ，摸到二等奖的概率为 ，每个人摸奖相互独立，设恰好有 n （ ）个人摸到一等奖的概率为 ，求当 取得最大值时 n 的值． 附：若 ， 则 ． 16 ．（ 本小题满分 15 分 ） 如图，在圆锥 SO 中， 若轴截面 S AB 是正三角形， C 为底面圆周上一点， F 为线段 O A 上一点， D （ 不 与 S 重合 ） 为母线上一点，过 D 作 D E 垂直底面于 E ， 连接 OE ， EF ， D F ， C F ， CD ， 且 ． （ 1 ）求证：平面 平面 DEF ； （ 2 ）若 为正三角形，且 F 为 AO 的中点，求平面 CDF 与平面 DEF 夹角的余弦值 ． 17 ．（ 本小题满分 15 分 ） 设函数 ，其中 a 为实数 ． （ 1 ）当 时，求 的单调区间； （ 2 ）当 在定义域内有两个不同的极值点 时，证明： ． 18 ．（ 本小题满分 17 分 ） 在直角坐标系 中，已知 ． （ 1 ）求点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2 ）设直线 l 不过坐标原点且不垂直于坐标轴， l 与 C 交于 A 、 B 两点，点 为弦 AB 的中点．过点 M 作 l 的垂线交 C 于 D 、 E ， N 为弦 DE 的中点． ①证明： l 与 ON 相交； ②已知 l 与直线 ON 交于 T ， 若 ，求 的最大值 ． 19 ．（ 本小题满分 17 分 ） 在无穷数列 中，令 ， 若 ， 则称 对前 n 项之积是封闭的 ． （ 1 ）试判断：任意一个无穷等差