2024届浙江省温州中学等校(名校协作体）高三第二学期开学考试数学试题（全解析版）

2 02 4 届 浙江省 温州中学等校（ 名校协作体 ） 高三年级 第二学期 适应性试题 数学学科 考生须知： 1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2. 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号 . 3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效 . 4. 考试结束后，只需上交答题卷 . 选择题部分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是两个不共线的单位向量，向量 （ ）． “ ，且 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数 的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱 体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，且圆 与 轴交于 两点，设直线 的方程为 ，直线 与圆 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 ，直线 、直线 、直线 的斜率分别为 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线 BC 交单位圆于点 A ， ， P 为单位圆上除 A 外的任意一点， l 为过点 P 的单位圆 O 的切线，则（　　） A. 有且仅有一点 P 使二面角 取得最小值 B. 有且仅有两点 P 使二面角 取得最小值 C. 有且仅有一点 P 使二面角 取得最大值 D. 有且仅有两点 P 使二面角 取得最大值 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为 1 ， 2 ；红球有两个，编号为 3 ， 4 ，从中不放回的依次取出两个球， A 表示事件 “ 取出的两球不同色 ” ， B 表示事件 “ 第一次取出的是黑球 ” ， C 表示事件 “ 第二次取出的是黑球 ” ， D 表示事件 “ 取出的两球同色 ” ，则（ ） A. A 与 D 相互独立 . B. A 与 B 相互独立 C B 与 D 相互独立 D. A 与 C 相互独立 10. 已知函数 ， 的定义域均为 R ，且 ， ．若 是 的对称轴，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是 的对称中心 C. 2 是 的周期 D. 11. 在平面直角坐标系中，将函数 图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为 “ 旋转函数 ”. 那么（ ） A. 存在 旋转函数 B. 旋转函数一定是 旋转函数 C. 若 旋转函数，则 D. 若 为 旋转函数，则 非选择题部分 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 把答案填在答题卡中的横线上 . 12. 的展开式中 的系数为 __________ ．（用数字作答） 13. 已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 ， ， 与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 . 若 与 的面积之比为 ，则 __________ . 14. 设严格递增的整数数列 ， ， … ， 满足 ， . 设 为 ， ， … ， 这 19 个数中被 3 整除的项的个数，则 的最大值为 ________ ，使得 取到最大值的数列 的个数为 ________ . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 如图，在三棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， ， . （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求二面角 的余弦值 . 16. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， . （ 1 ）若 ，求 的面积； （ 2 ）若 ，求 . 17. 设 . （ 1 ）若 ，求 ； （ 2 ）证明： ； （ 3 ）若 ，求实数 的取值范围 . 18. 设离散型随机变量 X 和 Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为 ， ， ， ， ．指标 可用来刻画 X 和 Y 的相似程度，其定义为 ．设 ． （ 1 ）若 ，求 ； （ 2 ）若 ，求 的最小值； （ 3 ）对任意与 有相同可能取值的随机变量 ，证明： ，并指出取等号的充要条件 19. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 为曲线 ： 上的动点，且点 不在 轴上，直线 交 于 ， 两点 . （ 1 ）证明：曲线 为椭圆，并求其离心率； （ 2 ）证明： 为线段 中点； （ 3 ）设过点 ， 且与 垂直的直线与 的另一个交点分别为 ， ，求 面积的取值范围 . 2023 学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题 高三年级数学学科 选择题部分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】首先化简集合，然后求出交集即可 . 【详解】 ， ， . 故选： A 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【