2022-2023学年天津市部分重点高中高一下学期期中考试数学试卷(原卷全解析版）

2022-2023学年天津市部分重点高中高一下学期期中考试 数学 一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 已知 ，其中 为虚数单位，则 （      ） A ． B ． 5 C ． 2 D ． 2. 已知向量 若 则 （      ） A ． B ． C ． D ． 3. 已知 是夹角为 60° 的单位向量，则 （      ） A ． 7 B ． 13 C ． D ． 4. 已知 a 、 b 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（      ） A ．若 ， ，则 B ．若 ， ， ，则 C ．若 ， ， ，则 D ．若 ， ，则 5. 在△ ABC 中，已知 ，那么△ ABC 一定是（      ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 6. 已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 的投影向量为（      ） A ． 3 B ． C ． D ． 7. 在 中，内角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，若 ，则角 的大小为 ( ) A. B. C. D. 8. 若一个正方体的八个顶点都在同一个球面，则正方体与这个球的表面积之比为（      ） A ． B ． C ． D ． 9. 如图，在 中， 一点，且满足 的值为（      ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若复数 z 满足 ，则 z 的虚部是 ______. 11 . 已知圆锥的底面半径是 2 ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 . 12 . 若 一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为 ，圆柱的体积是圆锥体积的 2 倍，则圆柱的高与圆锥的高的比为 ___________. 13 . 在 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边，若 ， ，则 的面积是 . 14. 一艘轮船沿北偏东 28° 方向，以 18 海里 / 时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东 32° 方向，经过 10 分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为 海里，则灯塔与轮船原来的距离为 . 15 . 如图，在平面四边形 中， ， . 若点 为边 的动点，则 的取值范围为 三、解答题（本大题共 4 小题，共 60 分） 16. （本小题满分 15 分） 已知 ． (1) 求 与 夹角的余弦值； (2) 若 ，求实数 λ 的值． (3) 若 , 且 、 、 三点共线 , 求 的值 . 17. （本小题满分 15 分） 在非等腰 中， a ， b ， c 分别是三个内角 A ， B ， C 的对边，且 ， ， . (1) 求 的值； (2) 求 的周长； (3) 求 的值 . 18. （本小题满分 15 分） 如图：在正方体 中 AB=2, 为 的中点 . (1) 求三棱锥 N-ACD 的体积； (2) 求证： 平面 ； (3) 若 为 的中点，求证：平面 平面 . 19. （本小题满分 1 5 分） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 . (1) 求角 的大小； (2) 若 为锐角三角形，求 的取值范围 . 2023～2023学年度第二学期期中重点校联考 高一 数学参考答案 一、选择题 1-5 ADCDC 6-9 BBAB 二、填空题 10 ． 4 11 ． 12 ． 13 ． 14 ． 2 15 ． 三、解答题 16 ． 解 （ 1 ）因为 ， 所以 ， ， （ 3 分） 设 与 的夹角为 ， 所以 （ 5 分） （ 2 ）因为 ， （ 7 分） 又 ， 所以 ，解得 （ 10 分） （ 3 ） 由已知 ， ， （ 12 分） 因为 A 、 B 、 C 三点共线 , 所以 ． （ 15 分） 17 ． 解 （ 1 ）在 中，由正弦定理 ， ， ， 可得 ， 因为 ，所以 ，即 ， （ 3 分） 解得 ． （ 4 分） （ 2 ）在 中，由余弦定理 ， 得 ，解得 或 ． （ 7 分） 由已知 互不相等，所以 ． 所以 的周长为 （ 9 分） （ 3 ）因为 ，所以 ， （ 10 分） 所以 ， ， （ 12 分） 所以 （ 15 分） 18 ． 解 （ 1 ） （ 4 分） （ 2 ）证明：设 ，接 ， 在正方体 中，四边形 是正方形， 是 中点， 是 的中点， ， （ 7 分） 平面 平面 平面 ； （ 9 分） （ 3 ）证明： 为 的中点， 为 的中点， ， 四边形 为平行四边形， ， （ 11 分） 又 平面 平面 平面 ， （ 13 分） 由（ 1 ）知 平面 平面 平面 ， 平面 平面 ． （ 15 分） 19 ． 解 （ 1 ）因为 ， 所以 ， （ 3 分） 整理得 ， 由正弦定理得 ， （ 5 分） 由余弦定理得 ， 因为 ，所以 ． （ 7 分） （ 2 ） （ 11 分） 在锐角 中，因为 ，所以 （ 12 分） 所以 ，所以 , 所以 , 所以 的取值范围为 ． （ 15