江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题（原卷解析版）

江苏省四校联合 2024 届高三新题型适应性考试 数 学 注意事项 ： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一 、 选择题 ： 本题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 。 1 ． 使用 斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的 A ． 倍 B ． 倍 C ． 倍 D ． 倍 2 ． 已知 ， 是两个不共线的单位向量，向量 ，则“ 且 ”是“ ”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 3 ． 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 A ． B ． C ． D ． 4 ．设 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则 A ． B ． C ． D ． 5 ． 甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下 ． 甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名” ． 若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为 A ． 第一名 B ． 第二名 C ． 第三名 D ． 第四名 6 ． 已知 为抛物线 上一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为 A ． B ． C ． D ． 7 ．若全集为 ，定义集合 与 的运算： ，则 A ． B ． C ． D ． 8 ． 设 ， ， ，则 A ． B ． C ． D ． 二 、 选择题 ： 本题共 3 小题 ， 每小题 6 分 ， 共 18 分 。 在每小题给出的选项中 ， 有多项符合题目要求 。 全部选对的得 6 分 ， 部分选对的得 部分 分 ， 有选错的得 0 分 。 9 ． 若 ， 为正整数且 ，则 A ． B ． C ． D ． 1 0 ． 设函数 ，则 A ． 是偶函数 B ． 在 上单调递增 C ． 的最小值为 D ． 在 上有 个零点 11 ． 已知圆 ： ，点 是 所在平面内一定点，点 是 上的动点，若线段 的中垂线交直线 于点 ，则 的轨迹可能为 A ． 椭圆 B ． 双曲线 C ． 抛物线 D ． 圆 三 、 填空题 ： 本题共 3 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 15 分 。 1 2 ． 有一组从小到大排列的数据： 3 ， 5 ， ， 8 ， 9 ， 10 ，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 __________ ． 13 ． 围棋起源于中国，至今已有 多年的历史 ． 在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算 ． 假设大 小为 的眼有 口气，大小为 的眼有 口气，则 与 满足的关系是 ， ， 则 的通项公式为 __________ ． 1 4 ． 若 ， ， ， 四点均在同一球面上， ， 是边长为 的等边三角形，则 面积的最大值为 __________ ，四面体 体积取最大值时，球的表面积为 __________ ． 四 、 解答题 ： 本题共 5 小题 ， 共 7 7 分 。 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 。 1 5 ．（ 1 3 分） 在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ，二面角 为直二面角． （ 1 ）证明 ： ； （ 2 ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 1 6 ．（ 1 5 分） 在游戏中 ，玩家可通过祈愿 池 获取新角色和新武器． 某游戏的 角色活动祈愿池的祈愿规则为： ① 每次祈愿获取五星角色的概率 ； ② 若连续 次祈愿都没有获取五星角色，那么第 次祈愿必定通过 “ 保底机制 ” 获取五星角色； ③ 除触发 “ 保底机制 ” 外，每次祈愿相互独立．设 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （ 1 ）求 的概率分布 ； （ 2 ） 求 的数学期望． 参考数据 ： ． 1 7 ．（ 1 5 分） 已知函数 ，其中 ． （ 1 ）若 ，证明 ； （ 2 ）讨论 的极值点的个数． 18 ．（ 1 7 分） 已知等轴双曲线 的顶点分别为椭圆 ： 的焦点 ， ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）若 为 上异于顶点的任意一点，直线 ， 与椭圆 的交点分别为 ， 与 ， ，求 的最小值． 19 ．（ 1 7 分） 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用 ． 设 ， ， ， 是直线 上互异且非无穷远的四点，则称 （分式中各项均为有向线段长度，例如 ）为 ， ， ， 四点的交比，记为 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 ， ， ， 为平面上过定点 且互异的四条直线， ， 为不过点 且互异的两条直线， 与 ， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ， 与 ， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ，证明： ； （ 3 ）已知第（ 2 ）问的逆命题成立，证明：若 与 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则 与 对应边的交点在一条直线上． 江苏省四校联合 2024 届新题型适应性考试 数学 参考答案 一 、 选择题 ： 本题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 。 1 ． D 2 ． A 3 ． C 4 ． B 5 ． B 6 ． C 7 ． A 8 ． D 二 、 选择题 ： 本题共 3 小题 ， 每小题 6 分 ， 共 18 分 。