湖北省武汉市武钢三中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（原卷全解析版）

武钢三中高二数学 12 月月考试题（ 2023/12/14 ） 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 2. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用 “ 逼近法 ” 得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为原点，焦点 、 在 轴上，椭圆 的面积为 ，且离心率为 ，则 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 与曲线 共焦点，且与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已经点 在抛物线 上运动，过点 引圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（ ） A 3 B. 4 C. D. 5. 已知 F 是双曲线 的下焦点， 是双曲线外一点， P 是双曲线上支上的动点，则 的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆 ，从一个焦点 发出的一条光线 经椭圆 内壁上一点 反射后经过另一个焦点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 已知抛物线 ，焦点为 F ，点 M 是抛物线 C 上的动点，过点 F 作直线 的垂线，垂足为 P ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知直线 与双曲线 的两条渐近线分别相交于 A ， 两点，点 的坐标为 ，若 ，则该双曲线的离心率是 ( ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9. 对于方程 ，下列说法中正确的是（ ） A. 当 时，方程表示椭圆 B. 当 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 C. 存在实数 ，使该方程表示双曲线 D. 存在实数 ，使该方程表示圆 10. 已知直线 过抛物线 的焦点，且与该抛物线交于 ， 两点，若线段 的长是 16 ， 的中点到 轴的距离是 6 ， 是坐标原点，则（ ）． A. 抛物线 的方程是 B. 抛物线的准线方程是 C. 直线 的方程是 D. 的面积是 11. 在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则（ ） A. B. 的面积为 C. 直线 与圆 相交 D. 的离心率 12. 已知抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，直线 交抛物线于 两点，点 ，则下列说法正确的是（ ） A. 存 直线 ，使得 两点关于 对称 B. 的最小值为 6 C. 当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切 D. 若分别以 为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则 两点的纵坐标之和的最小值为 4 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上， 为坐标原点，若 的面积为 2 ，则 到直线 的距离为 ______ . 14. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， B 为椭圆的上顶点，若 内切圆半径为 ，则椭圆的离心率为 __________ ． 15. 已知双曲线 的左右焦点分别为 过 的直线与双曲线右支交于 A ， B 两点，且 则 的面积为 _____. 16. 已知椭圆 ，点 ，设椭圆上不同的两点 满足 ，则实数 的取值范围是 ______ . 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. 已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ， ，焦距为 8 ， M 是双曲线上的一点． （ 1 ） 求 C 的离心率和渐近线方程； （ 2 ） 若 ，求 ． 18. 已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 ： 相切于点 . （ 1 ）求圆 方程； （ 2 ）求过点 与圆 相切的直线方程 . 19. 已知平面内一动点 到点 的距离比到 轴的距离大 . （ 1 ） 求动点 的轨迹 的方程； （ 2 ） 过点 的直线 与 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 . 20. 已知双曲线 C 和椭圆 有公共 焦点，且离心率为 ． （ 1 ）求双曲线 C 的方程． （ 2 ）经过点 M （ 2 ， 1 ）作直线 l 交双曲线 C 于 A ， B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程并求弦长． 21. 试问是否能找到一条斜率为 的直线 与椭圆 交于两个不同的点 ，且使 到点 的距离相等 ? 若存在，试求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 22. 已知抛物线 的焦点为 ，若过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，满 足 . （ 1 ）求抛物线 的方程； （2）若 为 上动点， ， 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值. 武钢三中高二数学 12 月月考试题（ 2023/12/14 ） 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 抛物线 焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】 C 【解析】 【分析】 由 可得抛物线标准方程为： ，由焦点和准线方程即可得解 . 【详解】 由 可得抛物线标准方程为： ， 所以抛物线的焦点为 ，准线方程为 ， 所以焦点到准线的距离为 . 故选： C. 2. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用 “ 逼近法 ” 得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为原点，焦点 、 在 轴上，椭圆 的面积为 ，且离心率为 ，则 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解