北京市北京五中2021-2022学年高一（上）期末数学试题（原卷全解析版）

北京市西城区 北京五中 2021- 2022 学年 高一（上）期末 数 学 一、单项选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 ．（ 4 分）全集 ， ， ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ，集合 ， ，则 　　 A ． ， ， 2 ， 3 ， 4 ， B ． ， 3 ， 4 ， C ． ， 4 ， D ． ， ， 0 ， 1 ， 2 ．（ 4 分）在直角坐标系中， ， ，则角 的终边与单位圆的交点坐标为 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 3 ．（ 4 分）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 　　 A ． B ． 1 C ． D ． 2 4 ．（ 4 分）函数 且 与函数 在同一坐标系内的图象可能是 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 4 分）已知 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 4 分）函数 的零点所在的区间为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．（ 4 分）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 4 分）甲： “ 是第一象限的角 ” ，乙： “ 是增函数 ” ，则甲是乙的 　　 A ．充分但不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 9 ．（ 4 分）已知函数 ， ， 的部分图象如图所示，下列结论正确的个数是 　　 ) ① ； ② 将 的图象向右平移 1 个单位，得到函数 的图象； ③ 的图象关于直线 对称； ④ 若 ，则 ． A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 10 ．（ 4 分）已知函数 的单调区间是 ，那么函数 在区间 上 　　 A ．当 时，有最小值无最大值 B ．当 时，无最小值有最大值 C ．当 时，有最小值无最大值 D ．当 时，无最小值也无最大值 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11 ．（ 5 分）函数 的最小值为 　　 ． 12 ．（ 5 分）已知幂函数 过点 ，若 ，则 　　 ． 13 ．（ 5 分）已知 上的奇函数 是增函数，若 （ a ） ，则 的取值范围是 　　 ． 14 ．（ 5 分）已知函数 且关于 的方程 有四个不等实根，写出一个满足条件的 值 　　 ． 15 ．（ 5 分）设函数 ，则 是 　　 （填 “ 奇函数 ” 或 “ 偶函数 ” ；对于一定 的正数 ，定义 ，则当 时，函数 的值域为 　　 ． 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） 16 ．（ 14 分）已知集合 ， ， ． （ Ⅰ ）当 时，求 ； （ Ⅱ ）当 时，求实数 的值． 17 ．（ 14 分）已知函数 ， 的最小正周期为 ，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件 ① ： 的图象关于于 对称； 条件 ② ： 的图象关于直线 对称． （ 1 ）请写出你选择的条件，并求 的解析式； （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，当 ， 时，求 的最大值和最小值，并指出相应的 取值． 18 ．（ 14 分）进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵．经研究发现鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 ， 是表示鱼的耗氧量的单位数． （ 1 ）当一条湟鱼的耗氧量是 500 个单位时，求它的游速是多少？ （ 2 ）某条湟鱼想把游速提高 ，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 19 ．（ 14 分）已知定义在 上的函数 满足： ① 对任意实数 ， ，均有 ； ② （ 1 ） ； ③ 对任意 ， ， ． （ 1 ）求 （ 2 ）的值，并判断 的奇偶性； （ 2 ）对任意的 ，证明： ； （ 3 ）直接写出 的所有零点（不需要证明）． 20 ．（ 14 分）已知函数 ． （ 1 ）指出 的单调区间，并用定义证明当 时， 的单调性； （ 2 ）设 ，关于 的方程 有两个不等实根 ， ，且 ，当 时，求 的取值范围． 21 ．（ 15 分）已知函数 ，（其中 ． （ 1 ）求函数 的值域； （ 2 ）如果函数 在 ， 恰有 10 个零点，求 最小正周期的取值范围． 参考答案 一、单项选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 ．【分析】求出集合 ，利用补集定义能求出 ． 【解答】解：全集 ， ， ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， 集合 ， ， ， ， 0 ， 1 ， ， 则 ， 3 ， 4 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2 ．【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果． 【解答】解： 直角坐标系中， ， ， 则角 的终边与单位圆的交点坐标为 ， ， 故选： ． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3 ．【分析】利用基本不等式即可求出结果． 【解答】解：实数 ， 满足 ，则 ，当且仅当 时取等号， 即 ， ， 故 的最大值为 ， 故选： ． 【点评】本题考查了基本不等式的性质，也可以利用椭圆的参数方程求解，三角函数的最值求解，属于基础题． 4 ．【分析】讨论 的范围，判断函数的单调性，和二次函数的开口方向和对称轴的位置，从而得出答案． 【解答】解：若 ，则指数函数 是减函数， 二次函数 开口向下，对称轴为 ，排除 ； 若 ，则指数函数 是增函数， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，排除 ； 故选： ． 【点评】本题考查了指数函数与二次函数的图象，属于基础题． 5 ．【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果． 【解答】解： ，则 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 6 ．【分析】 在 为