2024届广东省肇庆市高三上学期第二次教学质量检测数学试题（原卷全解析版）

★开封前注意保密 肇庆市 2024 届高中毕业班第二次教学质量检测 数 学 本试题共 4 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚 ､准确 ，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处 . 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 . 3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 ､弄皱 ，不得使用涂改液 ､修正带､刮纸刀 . 考试结束后，请将本试题及答题卡交回 . 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 ，且 ，则 （ ） A.2 B. C.1 D. 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 是单位向量，且它们的夹角是 . 若 ，且 ，则 （ ） A.2 B.-2 C.2 或 -3 D.3 或 -2 4. 为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了 100 万人的样本，其中男性约占 ､女性约占 ，统计计算样本中男性的平均身高为 ，女性的平均身高为 ，则样本中全体人员的平均身高约为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ， 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列 是等差数列， 是它的前 项和， ，则 （ ） A.100 B.101 C.110 D.120 7. 已知双曲线 ，则过点 与 有且只有一个公共点的直线共有（ ） A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 8. 在 中，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二 ､多选题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知曲线 的方程为 ，则（ ） A. 当 时，曲线 表示双曲线 B. 当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆 C. 当 时，曲线 表示圆 D. 当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆 10. 若 的三个内角 的正弦值为 ，则（ ） A. 一定能构成三角形的三条边 B. 一定能构成三角形的三条边 C. 一定能构成三角形的三条边 D. 一定能构成三角形的三条边 11. 已知 ，函数 ，若 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ） A.-1 B. C.2 D.4 12. 定义在 上的函数 同时满足 ① ； ② 当 时， ，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 存在 ，使得 D. 对任意 三 ､填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 在 的展开式中， 的系数为 __________. 14. 抛物线 的焦点坐标为 ，则 的值为 __________. 15. 小明去书店买了 5 本参考书，其中有 2 本数学， 2 本物理， 1 本化学 . 小明从中随机抽取 2 本，若 2 本中有 1 本是数学，则另 1 本是物理或化学的概率是 __________. 16. 在四面体 中， ，若 ，则四面体 体积的最大值是 _ _________ ，它的外接球表面积的最小值为 __________. 四 ､解答题 ：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . 17. （ 10 分） 已知数列 满足 ，数列 满足 ，记 为数列 的 前 项和 . （ 1 ）是否存在 ，使 为等比数列？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由； （ 2 ）求 . 18. （ 12 分） 在 中， 是 的平分线， ，求： （ 1 ） 的长； （ 2 ） 的面积 . 19. （ 12 分） 如图，在三棱柱 中，平面 平面 . （ 1 ）若 分别为 的中点，证明： 平面 ； （ 2 ）当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求平面 与平面 夹角的余弦值 . 20. （ 12 分） 已知函数 . （ 1 ）求 的极值； （ 2 ）对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 . 21. （ 12 分） 已知 分别是椭圆 的左 ､右焦点 ，点 在 上 . （ 1 ）证明： （其中 为 的离心率 ）； （ 2 ）当 时，是否存在过点 的直线 与 交于 两点，其中 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 . 22. （ 12 分） 某市 12 月的天气情况有晴天 ､下雨､阴天 3 种，第 2 天的天气情况只取决于第 1 天的天气情况，而与之前的无关 . 若第 1 天为晴天，则第 2 天下雨的概率为 ，阴天的概率为 ；若第 1 天为下雨，则第 2 天晴天的概率为 ，阴天的概率为 ；若第 1 天为阴天，则第 2 天晴天的概率为 ，下雨的概率为 . 已知该市 12 月第 1 天的天气情况为下雨 . （ 1 ）求该市 12 月第 3 天的天气情况为晴天的概率； （ 2 ）记 分别为该市 12 月第 天的天气情况为晴天 ､下雨和阴天的概率 ，证明： 为等比数列，并求出 . 肇庆市 2024 届高中毕业班第二次教学质量检测 答案及评分标准（参考）数学 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A B C C 二 ､多选题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 题号 9 10 11 12 答案 AC AD BC ACD 三 ､填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13.60 14. 15. 16. （ 2 分） 分 四 ､解答题 ：本题共 6 小题，共 70 分 . 17. （ 10 分） 解：（ 1 ）方法一：假设存在 ，使 为等比数列，则